أنواع المصفوفات في الجبر الخطي

أنواع المصفوفات في الجبر الخطي، تعريف المصفوفات وأنواعها، خصائص المصفوفات، وأهمية المصفوفات. وسنتحدث عنها بشيء من التفصيل خلال المقال التالي.

أنواع المصفوفات في الجبر الخطي

1. المصفوفة القطرية

وهي مصفوفة مربعة جميع عناصرها خارج القطر الرئيسي تساوي صفرًا. المصفوفة المربعة التي تكون جميع عناصرها الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي صفرًا تسمى المصفوفة المثلثية السفلية، بينما جميع عناصرها الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا تسمى المصفوفة المثلثة العليا.
2. مصفوفة متماثلة

A هي المصفوفة التي يكون منقولها متساويًا، أي AT = A، بحيث تكون خصائص المصفوفة المتماثلة هي: لتكن A وB مصفوفتين متماثلتين وسعة كل منهما nxn، إذن: AT متماثلة، ( A+B) متماثل، و KA متماثل (K ثابت).
3. المصفوفة المستطيلة

وهي مصفوفة لا يساوي عدد صفوفها عدد الأعمدة. على سبيل المثال: A = مصفوفة مستطيلة من الدرجة (3 × 2)، B = مصفوفة مستطيلة من الدرجة (3 × 4). تتضمن أمثلة المصفوفة المستطيلة؛ مصفوفة ذات صف واحد، ومصفوفة ذات عمود واحد، كما سنرى بعد قليل.
4. مصفوفة الهوية

وهي مصفوفة مربعة، كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي يساوي واحدا، وبقية عناصر المصفوفة أصفار. ويرمز له بالرمز I. مثال: I=، يرمز له بالرمز I2. I=، ويرمز له بالرمز I3. I=، ويرمز له بالرمز I4.
5. المصفوفة العددية

هي مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسية متساوية في القيمة وبقية عناصرها أصفار. على سبيل المثال:
A = المصفوفة القياسية للدرجة (2 × 2)، B = المصفوفة القياسية للدرجة (3 × 3)، حيث k كمية حقيقية، k صفر. وتجدر الإشارة هنا إلى أن المصفوفة القياسية = مصفوفة وحدة kx من نفس الدرجة.
6. مصفوفة فارغة

إنها مصفوفة جميع عناصرها أصفار. قد تكون المصفوفة ذات المجموع الصفري مربعة أو مستطيلة.
7. مصفوفة ناقلات الصف
وهي عبارة عن مصفوفة مستطيلة تحتوي على صف واحد وأي عدد من الأعمدة. ومن الأمثلة على ذلك: A = متجه الصف للدرجة (1 × 2)، B = متجه الصف للدرجة (1 × 4)، C = متجه الصف للدرجة (1 × N).
8. ناقل العمود

وهي مصفوفة مستطيلة تحتوي على عدة صفوف وعمود واحد فقط. ومن الأمثلة على ذلك: A = متجه العمود للدرجة (3 × 1)، B = متجه العمود للدرجة (4 × 1)، C = متجه العمود للدرجة (nx 1).

تعريف المصفوفات وأنواعها

في الرياضيات، المصفوفة هي مجموعة مستطيلة من الأرقام أو الرموز أو التعبيرات المنظمة في أعمدة وصفوف. ويسمى كل عنصر من هذه المجموعة عنصرا أو مدخلا للمصفوفة. هنا، على سبيل المثال، مصفوفة ذات صفين وثلاثة أعمدة: مثال الإدخالات في المصفوفة أعلاه هي 1، 9، 13، 20، 55، 4. عادة ما تتم الإشارة إلى أي إدخال في المصفوفة باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وتحته رقمان صغيران، بحيث يمثل الرقم الأول رقم الصف والثاني رقم العمود، كما في الشكل المرفق.
يُعرف عدد الأسطر في عدد الأعمدة برتبة المصفوفة أو حجم المصفوفة. على سبيل المثال، مصفوفة تحتوي على 4 أسطر و3 أعمدة حجمها 4*3. يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح على مصفوفات متساوية الحجم. ومن الممكن أيضًا ضرب المصفوفات بثبات معين في القياس، وهذه العمليات لها العديد من خصائص الحساب العادي، إلا أن ضرب المصفوفات ليس عملية تبادلية، وبشكل عام يمكننا القول أن AB لا تساوي BA. تُعرف المصفوفات التي تتكون من صف واحد أو عمود واحد بالمتجه. تُعرف المصفوفة ذات القياس الأكبر باسم الموتر.
تعتبر المصفوفات من أهم مفاتيح الجبر الخطي. يمكن استخدام المصفوفات لحل النقل الخطي. يتوافق ضرب المصفوفة مع النقل الخطي للوظيفة المعقدة. يمكن للمصفوفات أيضًا تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية
يمكن تعريف المصفوفة بشكل عام على أنها دالة رياضية خطية تقوم بتحويل مجموعة البداية لأي مجموعة بداية (نطاق) إلى مجموعة وصول أو نهاية (نطاق). يمكن أن تتكون مجموعة البداية والوصول من أعداد صحيحة، أو أعداد مركبة، أو أشعة أعداد، ويمكن أيضًا أن تتكون هاتان المجموعتان من دوال رياضية أو متجهات للدوال الرياضية، ويتم تمثيل أنواعها في 8 أنواع من المصفوفات القطرية، متماثلة، صفرية، مستطيلة، وحدة، قياسية، مصفوفة ذات عمود واحد، ومصفوفة صفية. الواحد.

خصائص المصفوفات

1. المساواة بين المصفوفات

المصفوفتان A و B متساويتان وتكتب (A=B) إذا:
– كل من A وB لهما نفس الحجم.
– كل عنصر في (أ) يساوي نظيره في الموقع (ب).
2. ضرب المصفوفات بالأرقام

إذا كانت A مصفوفة و K عدد حقيقي، فإن حاصل ضرب A في K يكتب بالشكل KA أو AK هي المصفوفة الناتجة عن ضرب جميع عناصر A في K ويمكننا تعريفها كما يلي: إذا كانت A=(aij ) ثم KA=AK=(كايج)
3. جمع وطرح المصفوفات

يمكن إضافة المصفوفتين A = (aij) , B = (bij) إذا كانتا بنفس السعة وكان حاصل الجمع عبارة عن مصفوفة ويرمز لها بالرمز A + B ويتم الحصول عليها عن طريق إضافة العناصر المتماثلة في المصفوفتين أي: A + B = (aij + bij)
لا يمكن معرفة عملية الجمع لمصفوفتين إذا كانت سعتهما مختلفة.

أهمية المصفوفات

وتتمثل أهمية المصفوفات في السطور التالية:
تستخدم المصفوفات وتطبيقاتها في معظم المجالات العلمية، وفي كل فرع من فروع الفيزياء، مثل الميكانيكا، والبصريات الهندسية، والكهرومغناطيسية، وميكانيكا الكم، ولدراسة الظواهر الفيزيائية مثل حركة الأجسام الصلبة، وكذلك في الرسومات الحاسوبية، معالجة النماذج ثلاثية الأبعاد وعرضها على شاشة ثنائية الأبعاد. كما أنها تستخدم في نظريات الاحتمالات والإحصاء، وفي… يستخدم الاقتصاد لوصف أنظمة العلاقات الاقتصادية.