بحث عن ضرب المصفوفات، أنواع المصفوفات، استخدامات المصفوفات، وما هي المصفوفات. وهذا ما سنتعرف عليه فيما يلي.
بحث عن ضرب المصفوفات
المصفوفات هي مجموعة على شكل مستطيل، مكونة من أرقام أو كلمات أو رموز، وتعرف هذه المكونات الموجودة بداخلها بالمدخلات أو العناصر، وتسمى بالمصفوفة لأن جميع العناصر مرتبة في مجموعة من الأعمدة الجانبية جنباً إلى جنب أو في صف واحد، ومن المعروف أن المصفوفات تتكون من نوعين، النوع الأول هو المصفوفة الحقيقية، أما النوع الثاني فهو المصفوفة المعقدة، والمدخلات فيها غالباً ما تكون أرقام حقيقية أو مركبة، والمصفوفة هي المعروف بشكله التقليدي والمكون من عدة صفوف ترتيبها بطريقة عمودية أو أفقية.
تاريخ المصفوفات
للمصفوفات تاريخ طويل، بدأ مع اكتشافها في عام 1800م، ومع مرور الوقت استمر استخدامها في العديد من المعادلات الخطية والرياضية حول العالم، حتى وصلت إلى الصين وعبرت العالم كله حتى تعرف عليها العالم و أصبح عاملا أساسيا ومهما في كافة مجالات العلوم المختلفة حول العالم، ولا غنى عنه
شكل وحجم المصفوفة
تتكون المصفوفة من أعمدة رأسية وصفوف أفقية. وتعرف المصفوفة في الرياضيات باسم (mn). أما أعمدة المصفوفة فيرمز لها بالرمز (mxn). وتعرف أبعاد المصفوفة بـ (m وn). ومن الجدير بالذكر أن المصفوفة لها عدة أشكال، منها المصفوفة ذات الصف الواحد والتي تعرف بمتجهات الصف، والمصفوفة ذات العمود الواحد والتي تعرف بمتجهات العودية. أما المصفوفة التي عدد صفوفها يساوي عدد أعمدةها فتعرف بالمصفوفة المربعة. نظرًا لشكلها المربع، تُعرف المصفوفة التي تحتوي على عدد كبير من الصفوف والأعمدة، والتي يصعب تحديدها، بالمصفوفة اللانهائية. الشكل الأخير من المصفوفات هو المصفوفة الفارغة، التي لا تحتوي على أعمدة أو صفوف.
ضرب المصفوفة
هي عملية حسابية تتم على مصفوفة، وتتطلب ضرب عدد معين أو مصفوفة في مصفوفة أخرى، وتطلب نتيجة عملية الضرب. هذه العملية لها إسم باللغة الإنجليزية وهو ضرب المصفوفة، وغالباً ما تعرف هذه العملية بضرب المصفوفات العادية، وهو ما سيتم شرحه لاحقاً. :
سوف نستخدم إحدى أسهل عمليات ضرب المصفوفات والتي تعتبر مهمة في الرياضيات، وهي بين المصفوفتين A وB، والتي تعتمد على أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية، بحيث A من الدرجة m×n، وB من الدرجة n×p، وبالتالي نجد أن نتيجة العملية هي C=A⋅B من الدرجة m×p. وفقا لنفس المنطق.
أما إذا ضربنا سلسلة من المصفوفات التي لها درجات n1×n2، n2×n3، وnk−1×nk، فسنجد أن نتيجة ضرب هذه المصفوفة ستكون من الدرجة n1×nk، وبالتالي نجد أن هذه المصفوفات عندما تتعرض لعملية الضرب ليست عملية تبديلية، لأن الضرب لا يمكن أن يكون عملية محددة، إذا قمنا باستبدال المصفوفتين.
أنواع المصفوفات
1. المصفوفة المربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة المربعة.
2. مصفوفة مدورة. لتكن A مصفوفة من الدرجة n×m. عندما يتم تحويل صفوفها إلى أعمدة، يتم إنتاج مصفوفة من الدرجة m×n. يطلق عليها اسم المصفوفة المدورة أو المنقولة ويرمز لها بالرمز AT.
3. المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة مربعة حقيقية A تكون متماثلة إذا وفقط إذا كانت مساوية لدورانها ولها الرموز AT=A
4. المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تكون جميع المدخلات فيها تساوي أصفارًا.
5. تتكون المصفوفة الرأسية من عمود واحد فقط، وسميت بهذا الاسم لأن جميع عناصرها تقع في عمود واحد.
6. المصفوفة الأحادية هي مصفوفة تتكون من مدخل واحد فقط، أي أنها تتكون من عنصر واحد فقط.
7. المصفوفة الوحدوية هي مصفوفة قطرية تكون فيها جميع عناصر القطر الرئيسي هي الرقم واحد.
8. المصفوفة التربيعية الحقيقية A تكون متماثلة التماثل إذا وفقط إذا كانت AT=A
9. تتكون مصفوفة الخطوط من صف واحد فقط، وقد سُميت بهذا الاسم لأن جميع عناصرها تقع في سطر واحد.
10. المصفوفة المثلثية المصفوفة المربعة هي مصفوفة مثلثة إذا وفقط إذا كانت جميع مدخلاتها فوق القطر الرئيسي أو أسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا.
11. مصفوفة مستطيلة لا يساوي عدد الصفوف فيها عدد الأعمدة.
12. المصفوفة القطرية تكون المصفوفات المربعة قطرية فقط إذا كانت جميع مدخلاتها أعلى وأسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر.
ما هي المصفوفات؟
يتم تعريف المصفوفات على أنها ترتيب مجموعة من الأرقام في الأعمدة والصفوف. يمكن أن تحتوي المصفوفات على رموز أو أحرف بدلاً من الأرقام، وعادةً ما يكون الشكل النهائي للمصفوفة مربعًا أو مستطيلًا. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة الموجودة فيها، أي حجم المصفوفة = عدد الصفوف * عدد الأعمدة. إذا كانت المصفوفة مكونة من 3 صفوف و4 أعمدة، فهذا يعني أن حجم المصفوفة = 3*4. يمكن تسمية المصفوفة بأحد حروف اللغة العربية، أما في اللغة الإنجليزية فيجب تسميتها بأحد الحروف الكبيرة وليس الصغيرة. إذا أردنا الإشارة إلى أحد عناصر المصفوفة، فيجب علينا أولاً أن نذكر اسم المصفوفة، ثم نكتب رقم الصف الذي يقع فيه العنصر، بجوار رقم العمود. مثال على ذلك إذا كان لدينا مصفوفة اسمها “Y” والعنصر المراد الإشارة إليه موجود في الصف الثاني والعمود الثالث، فيكون اسم العنصر (Y)
استخدامات المصفوفات
تستخدم المصفوفات في العديد من المجالات العلمية، مثل:
-يمكن استخدامه في جميع فروع الفيزياء، وجميع فروع الميكانيكا بما في ذلك الميكانيكا الكلاسيكية، والميكانيكا الكهرومغناطيسية، والديناميكا الكهربائية الكمومية.
تستخدم المصفوفات لدراسة الظواهر الفيزيائية المختلفة، ومن هذه الظواهر التي تساعد المصفوفات على دراستها هي حركة الأجسام الصلبة.
تساعد دراسة المصفوفات على تبسيط العمليات الحسابية في جميع الجوانب سواء النظرية أو العملية.
يمكن استخدام المصفوفات في مجال الاقتصاد، لأنها تصف أنظمة العلاقات الاقتصادية.
-يمكن استخدامه أيضًا في حساب التفاضل والتكامل، وتكامل المصفوفات مثل المشتقات والأسس للأبعاد الأعلى.
يمكن استخدامه في نظرية الاحتمالات والإحصاء، ومن الممكن استخدام المصفوفات العشوائية في كيفية وصف مجموعات الاحتمالات. على سبيل المثال، يمكن استخدامها في خوارزمية ترتيب الصفحات التي تدخل في بحث Google.
– يمكن استخدامه في مجال الرسومات الحاسوبية، كما يمكن استخدامه في معالجة النماذج ثلاثية الأبعاد، كما يساعد في عرض تلك الرسومات على شاشة ثنائية الأبعاد.
-يتم تضمين المصفوفات اللانهائية في نظرية الكواكب، وكذلك النظرية الذرية، ومثال على المصفوفة اللانهائية هي المصفوفة التي هي عامل مشتق.