تعريف المصفوفات وانواعها

تعريف المصفوفات وأنواعها. ونتحدث عنهم بالتفصيل من خلال هذا المقال. ونذكر لك أيضاً تعريف المصفوفات في الحاسوب، بالإضافة إلى مقدمة عن المصفوفات وخاتمة الموضوع. تعريفات محددة للمصفوفات. تابع السطور التالية.

تعريف المصفوفات وأنواعها

تعريف المصفوفات

وهي عبارة عن مجموعة من الأرقام مرتبة في عدد من الصفوف والأعمدة. هذه الأرقام عادة ما تكون حقيقية ويمكن أن تكون معقدة. ويمكن أيضًا تعريفها بشكل عام على أنها دالة رياضية خطية تقوم بتحويل مجموعة البداية لأي نقطة بداية إلى مجموعة وصول أو نهاية (مستقرة)، ويمكن تكوين مجموعة نقطة البداية والمستقرة. من الأعداد الصحيحة أو الأعداد المركبة أو أشعة الأعداد. ويمكن أيضًا أن تتكون هاتان المجموعتان من دوال رياضية أو أشعة من الدوال الرياضية. نحن نرمز إلى المصفوفة بين قوسين مربعين. حرفان كبيران أو أهلة تكتب داخلهما عناصر المصفوفة
أنواع المصفوفات

هناك أنواع مختلفة من المصفوفات التي تستخدم في الحل، منها:
1-مصفوفة الصف

تتكون مصفوفة الصف من صف واحد فقط وليست مشروطة بعدد الأعمدة. يمكن أن تحتوي على عدد كبير من الأعمدة. ويمكن أن يكون بالترتيب 1×5 مثلاً، فيبدأ بعدد الصفوف ثم عدد الأعمدة.
2-مصفوفة الأعمدة

مصفوفة الأعمدة هي مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط من الأرقام مع عدد غير محدود من الصفوف. على سبيل المثال، المصفوفة من الترتيب 5×1، فالرقم 5 يعبر عن عدد الصفوف والرقم 1 يشير إلى عمود واحد.
3-المصفوفة المربعة

في المصفوفة المربعة، عدد الأعمدة يساوي بالضبط عدد الصفوف. فإذا كانت الرتبة متساوية فلا بد أن تكون مساوية لـ n=m، ويمكن القول إنها من الرتبة m.
4-المصفوفة المستطيلة

المصفوفة المستطيلة هي مصفوفة لا يساوي عدد صفوفها عدد الأعمدة وتكون رتبتها على هذا الشكل: 2×3 أو 4×2 وهكذا.
5-المصفوفة العددية

تعتبر المصفوفة العددية مصفوفة قطرية ولكن يجب أن يحتوي القطر على رقم ثابت لا يتغير إلا الصفر. يقال عن المصفوفة القطرية أنها مصفوفة عددية إذا كانت المصفوفة القطرية تحتوي على عناصر متساوية، مثل المصفوفة المربعة.
6-مصفوفة الوحدة

مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة تحتوي جميع عناصرها على أصفار باستثناء القطر الذي يحتوي على الرقم واحد. وتسمى أيضًا مصفوفة الهوية.
8-المصفوفة القطرية

تحتوي المصفوفة القطرية على أرقام على القطر فقط وباقي المصفوفة مكونة من أصفار ويتم التعبير عنها بالترتيب mxn مثل المصفوفات الأخرى.
9- مصفوفة الصفر

المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تحتوي على أصفار في جميع عناصرها مثل: [000000000]
10-مصفوفة معكوسة

المصفوفة المقلوبة هي معكوس المصفوفة الأصلية. تتم هذه العملية بسهولة عن طريق استبدال الصفوف بالأعمدة أو العكس. يمكننا الحصول على المصفوفة المقلوبة ويمكن القيام بذلك عن طريق القسمة. إذا ضربنا عددًا معينًا في مقلوبه، فسنحصل على الرقم الصحيح. على سبيل المثال (5/8) 5/8 عندما نضرب الكسرين معًا نحصل على قيمة الكسر الصحيح. وتسمى هذه الحالة التطابق. عندما نضرب شيئا ما في 1، فإنه لا يغير قيمته. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا معادلة لمصفوفة مثل AB = C، حيث يتم إعطاء A وC، فيمكن الحصول على قيمة B. الحصول على القيمة من خلال القسمة ولكن تقسيم المصفوفات غير ممكن.
12-المصفوفة المثلثة العلوية

المصفوفة المثلثية العليا هي مصفوفة مربعة تتكون فيها جميع العناصر الموجودة أسفل القطر من أصفار وتحتوي العناصر المتبقية على أرقام.
13-المصفوفة المثلثية السفلى

المصفوفة المثلثية السفلية هي مصفوفة مربعة مثل المصفوفة المثلثية العلوية لكن أصفار العناصر تكون فوق القطر.
14-المصفوفة الأولية

المصفوفة الأولية هي المصفوفة التي يتم إجراء عمليات الاستبدال عليها من خلال الصفوف أو الأعمدة، مثل عمليات الصف الأولية التي يمكن إجراؤها على الأعمدة أيضًا. تعتبر عمليات النقل التي يتم إجراؤها لصفوف وأعمدة المصفوفة، والمصفوفة الأولية مختلفة تمامًا عن مصفوفة الهوية التي تحمل الرقم واحد على القطر.

تعريف المصفوفات في أجهزة الكمبيوتر

المصفوفة عبارة عن تركيبة من البيانات التي يتم إنشاؤها برمجيًا في جهاز الكمبيوتر. يمكنه تخزين العديد من العناصر من نفس النوع ولكل عنصر قيمة. مساحة الذاكرة محجوزة للاحتفاظ بقيمة وموقع كل عنصر على التوالي. المصفوفة لها سعة ثابتة ولا تتغير أثناء وقت التنفيذ. لذلك، يجب تحديد سعة المصفوفة أثناء وقت البرمجة. يمكن أن تحتوي المصفوفة على بيانات في بُعد واحد أو أكثر، ويمكن تصور المصفوفة ثنائية الأبعاد كمصفوفات داخل مصفوفات أخرى. ويمكن اعتبار البعد الأول هو المصفوفة الرئيسية، بينما البعد الثاني عبارة عن مصفوفة ضمن البعد الأول. كل عنصر في المصفوفة له حجمه الخاص، واعتمادًا على نوع المصفوفة، فإن السعة الإجمالية للمصفوفة. هو حجم العنصر مضروبا في عدد العناصر.

مقدمة إلى المصفوفات

وهو يمثل الشكل الأول لاستخدام المصفوفات عند حل المعادلات باللغة الصينية ويسمى “تسعة فصول من الفن الرياضي”. ويتضمن أيضًا المبدأ المحدد الذي يمكن إرجاعه إلى ما بين 300 قبل الميلاد و200 بعد الميلاد. في عام 1683، نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو بحثًا عن المصفوفات. وتبعه العالم الألماني جوتفريد لايبنتز، الذي نشر بحثًا عن المصفوفات عام 1693، ثم نشر غابرييل كرامر قواعده الحسابية عام 1750.
– ركزت نظرية المصفوفات المبكرة على دور المحدد بدلاً من استقلاله عن المصفوفة. لم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل مع آرثر كايلي ونظرية المصفوفة حتى عام 1858.
-نظرية المصفوفات هي فرع من فروع الرياضيات يركز على دراسة المصفوفات وواقعها. ويعتبر أحد فروع الجبر الخطي، لذلك فهو يغطي في الواقع موضوعات تتعلق بنظرية المخططات، والجبر، والتوافقيات، والإحصاء. تمثل المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام. في عام 1848، صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة من الأرقام المرتبة. في عام 1855، اقترح آرثر كايلي مصفوفة لتمثيل العناصر الخطية، وتعتبر هذه الفترة بداية الجبر الخطي ونظرية المصفوفات.
تعتبر دراسة الفضاءات المتجهة في مجالات محددة فرعا من فروع الجبر الخطي المفيد في نظرية التشفير، مما يؤدي بطبيعة الحال إلى البحث واستخدام المصفوفات في مجالات محددة في نظرية التشفير. الوحدة هي تعميم للفضاء المتجه، لذلك يعتبر الأمر بمثابة فضاء للمتجهات على الحلقة، وهذا ما أدى إلى البحث. حول حلقات المصفوفات لا تعتبر نظرية المصفوفات في هذا المجال فرعا من الجبر الخطي إلا إذا كانت الحلقة الموضحة متبادلة. تعتبر النظرية والنتائج الواردة في نظرية كيلي هاملتون مقبولة إذا كانت الحلقة المعطاة مجالًا مثاليًا رئيسيًا. نموذج سميث الطبيعي متوافق ولكن الباقي ينطبق فقط في حالة المصفوفة ذات الأعداد المركبة أو الحقيقية.

تعريفات المصفوفات

1-المتجه:

وهي مصفوفة تتكون من صف واحد وعمود واحد. يُرمز للمصفوفة التي تحتوي على عمود واحد بالرمز Am*1 وتُعرف بمتجه العمود، بينما يُرمز للمصفوفة التي تتكون من صف واحد بالرمز A1*n وتُعرف بمتجه الصف.
2- مساحة المصفوفة أو ترتيبها أو قياسها:
يتم تعريفه على أنه عدد الأسطر في منتج عدد الأعمدة؛ أي أنه إذا كان لدينا مصفوفة تحتوي على 5 أسطر و3 أعمدة، فإن حجمها أو رتبتها يكون 3*5.
3-المصفوفة العكسية:

وهو المعكوس الضربي للمصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي مصفوفة الواحد، أي B = In. تسمى المصفوفة B معكوس A ورمزها A-1.4.
4-المصفوفة المنقولة:

تبديل المصفوفة: هي المصفوفة الناتجة عن استبدال الأعمدة بالخطوط، ويرمز لها بالرمز AT. ومن خصائصه أن منقول مجموع مصفوفتين هو مجموع منقول المصفوفتين، أي (A+B)T = AT+BT. كما أن نقل حاصل ضرب مصفوفتين هو حاصل ضرب المصفوفتين بطريقة عكسية لنقلهما، أي (AB). )T = BT*AT