خواص المصفوفات

خصائص المصفوفات. وسنتحدث أيضًا عن أهمية المصفوفات. وسنذكر أيضًا ما هي أنواع المصفوفات، وكذلك أهم تعريفات المصفوفات. كل هذه المواضيع يمكنك العثور عليها في مقالتنا.

خصائص المصفوفات

1-قانون الجمع

لدينا ثلاث مصفوفات A= [a ij]، ب = [b ij]، ج = [c ij] لديهم نفس الترتيب وهو م × ن، (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).
2-قانون الصرف

إذا أ= [a ij]، ب = [b ij] لديهم نفس الترتيب والحجم هو m × n، ثم A + B = B + A. ويمكن إجراء التبادل بين المصفوفات بالإضافة إلى ذلك.
3- الهوية المضافة

لنفترض أن أ = [a ij] مصفوفة m × n وO هي مصفوفة صفر m × n، ثم A + O = O + A = A. إذن O هي الهوية المضافة لمجموع المصفوفة.
3- معكوس إضافي

على سبيل المثال، لدينا أ = [a ij] m×n أي مصفوفة، ومصفوفة أخرى مثل – A = [–a ij] m × n بحيث يكون A + (–A) = (–A) + A = O. – A هو المعكوس الجمعي لـ A أو سالب A.

أهمية المصفوفات

1- تعد المصفوفات من أكثر الأشياء استخدامًا في العديد من التطبيقات العلمية مثل الفيزياء والمجالات البصرية والهندسية.
2- يستخدم أيضًا في نظريات الاحتمالات والإحصائيات المختلفة، ويستخدم للتعبير عن العديد من الأنظمة الاقتصادية.
3- يدخل في دراسة العديد من الظواهر الفيزيائية، كما يستخدم في العديد من الرسومات وخاصة ثلاثية الأبعاد.
4-رسومات الحاسوب في الحلول الخوارزمية وترتيب الصفحات.
5- يستخدم في معالجة العديد من التحولات الخطية لعرض الصور.
6- العديد من المجالات المهمة الأخرى.
7-فهم مفاهيم التحليل الكلاسيكي مثل الدوال الأسية والمشتقات عالية الأبعاد.

ما هي أنواع المصفوفات؟

1-مصفوفة الوحدة

وهي أيضًا مصفوفة مربعة، وجميع عناصر صفوفها وأعمدتها تأخذ القيمة (صفر)، باستثناء عناصر القطر الرئيسي، فتأخذ القيمة (1)، وهذا هو أساس الفرق بينها والمصفوفة القطرية والتي يرمز لها بالرمز (I) على سبيل المثال.
2- المصفوفة المتناظرة

إذا كانت هناك مصفوفة مربعة (A (mxs)) وتم استبدال عناصر صفوفها بعناصر أعمدتها بنفس الترتيب، فإنها تصبح مصفوفة متبدلة (A' (mxs)). إذا لم تتغير قيم العناصر المتناظرة في كل منها عن الأخرى بعد الإجراء السابق، فتسمى مثل هذه المصفوفة مصفوفة متماثلة. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن العناصر المقابلة أعلى وأسفل القطر الرئيسي متطابقة.
3- مصفوفة المتجهات

وهي عبارة عن مصفوفة تتكون من صف واحد وعدة أعمدة. في هذه الحالة، يطلق عليه متجه الصف، بينما إذا كانت هذه المصفوفة تتكون من عمود واحد وعدة صفوف، فإنها تسمى متجه العمود.
4- المصفوفة المفردة

وهي مصفوفة مربعة ونجد أن محدد عناصرها = صفر. على سبيل المثال: لكن إذا كان محدد المصفوفة ≠ صفر، فإنها تسمى مصفوفة غير فردية أو غير مفردة.
5-تبديل المصفوفة

إذا كانت لدينا مصفوفة (A(mxs)) أي عدد الصفوف (م) وعدد الأعمدة (الأعمدة) ويتم استبدال عناصر الصفوف بعناصر الأعمدة بنفس الترتيب أو العكس ، فإن المصفوفة الجديدة، فليكن (A′)، تسمى هذه المصفوفة (A′ (mxs) في المصفوفة المنقولة.
6- سكارلر ماتريكس

وهي عبارة عن مصفوفة واحدة (I)، ضرب عناصر قطرها الرئيسي x بعدد سلمي محدد، ينتج عنه المصفوفة القياسية ونلاحظ أن عناصر القطر الرئيسي متساوية في القيمة.
7-المصفوفة المستطيلة

هي مصفوفة لا يساوي عدد صفوفها عدد أعمدتها، وقد تكون m > s أو m < s.
8-المصفوفة الصفرية

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة (سواء كانت مستطيلة أو مربعة) تأخذ القيمة (صفر)، فإنها تسمى مصفوفة صفرية. المصفوفة القطرية: هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها تأخذ القيمة (صفر) باستثناء عناصر القطر الرئيسي وهو القطر الذي يبدأ من الشمال الشرقي إلى الجنوب الغربي للمصفوفة ويأخذ قيماً هي لا تساوي صفراً وتختلف جميعها أو بعضها في القيم الحسابية.

تعريفات المصفوفات

1-مصفوفة معكوسة

وهو المعكوس الضربي للمصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي مصفوفة واحد، أي B = In. تسمى المصفوفة B معكوس A ورمزها A-1.4.
2-المتجه

وهي مصفوفة تتكون من صف واحد وعمود واحد. يُرمز للمصفوفة التي تحتوي على عمود واحد بالرمز Am*1 وتُعرف بمتجه العمود، بينما يُرمز للمصفوفة التي تتكون من صف واحد بالرمز A1*n وتُعرف بمتجه الصف.
3-المصفوفة المنقولة

تبديل المصفوفة: هي المصفوفة الناتجة عن استبدال الأعمدة بالخطوط، ويرمز لها بالرمز AT. ومن خصائصه أن منقول مجموع مصفوفتين هو مجموع منقول المصفوفتين، أي (A+B)T = AT+BT. كما أن منقول حاصل ضرب مصفوفتين هو حاصل ضرب المصفوفتين بطريقة عكسية من منقولهما، أي (AB). )T = BT*AT
4-مساحة المصفوفة أو ترتيبها أو قياسها

يتم تعريفه على أنه عدد الأسطر في منتج عدد الأعمدة؛ أي أنه إذا كان لدينا مصفوفة تحتوي على 5 أسطر و3 أعمدة، فإن حجمها أو رتبتها يكون 3*5.