ما هي الأعداد الأولية وما هو تعريفها الصحيح؟ وسوف نتعلم كل شيء عن الأعداد الأولية من خلال السطور التالية.
رقم أولي
العدد الأولي والرقم الأول هو عدد طبيعي أكبر من 1 بالتأكيد، ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد فقط. كل عدد طبيعي أكبر من 1 بالتأكيد وليس عددًا أوليًا يسمى عددًا أوليًا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه يقبل القسمة فقط على 1 و5، في حين أن 6 هو عدد مركب لأنه يقبل القسمة على 1 و2 و3 و6. تحدد النظرية الأساسية للحساب الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر بالتأكيد من 1 يساوي منتج مجموعة واحدة من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هذه الأرقام داخل تلك المجموعة). تتطلب هذه النظرية حذف 1 من قائمة الأعداد الأولية.
لتحديد العدد الأولي لعدد ما، هناك طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، والتي تتكون من قسمة هذا الرقم على الأرقام الواقعة بين 2 والجذر التربيعي للرقم المحدد. هناك خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستخدم لتحديد الأعداد الأولية للأعداد الكبيرة، خاصة عندما يتعلق الأمر بالأعداد ذات الشكل الخاص مثل أعداد ميرسين الأولية. بحلول فبراير 2013، كان أكبر عدد أولي تم التوصل إليه يتكون من 17 مليون رقم.
مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة لا نهائية. وقد أثبت إقليدس ذلك في حوالي عام 300 قبل الميلاد. أنت لا تعرف صيغة ما، فكل قيمها هي أعداد أولية. لكن يمكن دراسة توزيع الأعداد الأولية وبناء النظريات حوله. وكانت أول نظرية ذهبت في هذا الاتجاه هي نظرية الأعداد الأولية، والتي تم إثباتها في نهاية القرن التاسع عشر، والتي بموجبها فإن احتمال أن يكون العدد الطبيعي n، الذي تم اختياره عشوائيا، أوليا، يتناسب عكسيا مع عدد الأعداد. الأرقام الموجودة في هذا الرقم وبعبارة أخرى، فإنه يتناسب عكسيا مع اللوغاريتم الطبيعي لـ n.
اكتشاف أكبر عدد أولي
اكتشف الدكتور كورتيس كوبر في جامعة ميسوري بأمريكا، من خلال الكمبيوتر، أكبر عدد أولي، حيث أن العدد الذي تم اكتشافه يتكون من أكثر من 22 مليون رقم، وهو أكبر من العدد الأولي الذي تم اكتشافه قبله بما يقارب خمسة ملايين رقم، والرقم الذي تم اكتشافه حتى الآن هو في الترتيب التاسع والأربعين في سلسلة مرسيني؛ هذه الأرقام الأولية الكبيرة جدًا مفيدة في عمليات الحوسبة في المستقبل. لأن الأعداد الحالية هي بالمئات ولم تصل بعد إلى أرقام الملايين.
خصائص الأعداد الأولية
إذا كان (A وB) عددين صحيحين، و(C) عدد ثالث؛ وبما أن (C) أولي، وحاصل ضرب العددين (A × B) يقبل القسمة على C، فإن (A) أو (B) يقبل القسمة على العدد (C)، وهذا ما يسمى بنظرية إقليدس.
جميع الأعداد الأولية باستثناء (5,2) تنتهي بأحد الأعداد (9,7,3,1)؛ لأن الأعداد التي تنتهي بـ (8,6,4,2,0) هي من مضاعفات العدد اثنين، فهي ليست أولية، والأعداد التي تنتهي بـ (5,0) هي من مضاعفات العدد خمسة، وهي ليست أولية.
الرقم 2 هو أصغر رقم في قائمة الأعداد الأولية، وهو الرقم الزوجي الوحيد فيها.
يتم توزيع الأعداد الأولية بشكل غير منتظم، والسبب الرئيسي هو أن العلماء لا يفهمون طريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية والأعداد الزوجية. كلما زادت قيمة الرقم الأولي، زادت الفجوة بينه وبين الرقم التالي.
أهمية الأعداد الأولية
الأعداد الأولية، مثل اثنان وثلاثة وخمسة وسبعة، قابلة للقسمة على نفسها وعلى واحد فقط، وتلعب هذه الأرقام دورًا مهمًا في برمجة الكمبيوتر، وتعد الأعداد الأولية من أهم الأدوات المستخدمة في تشفير البيانات الإلكترونية، والمعاملات المصرفية ، والدخول إلى مواقع التواصل الاجتماعي. تعتبر الأعداد الأولية الاجتماعية والكبيرة مهمة في برمجة الكمبيوتر، كما أنها تساعد في تقديم الخدمات المصرفية الإلكترونية والتسوق والرسائل الخاصة.
الأعداد الأولية
تُعرف الأعداد الأولية باللغة الإنجليزية بالأرقام الأولية.
يستخدم مصطلح العدد الأولي للتعبير عن عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على الرقم واحد وعلى نفسه فقط.
يحتوي العدد الأولي على مقسومين فقط: واحد والرقم الأولي نفسه.
بناءً على ما سبق، لا يمكن تصنيف الأعداد التي لها ثلاثة قواسم أو أكثر على أنها أعداد أولية.
– أما بالنسبة للرقم واحد فهو لا يعتبر عددا أوليا لأنه له قاسم واحد فقط وهو نفسه، ونحتاج إلى قسمين حتى يصنف العدد على أنه أولي، وهذا الشرط يتطلب الرقم واحد.
الأعداد الأولية تعبر عن مجموعة من الأعداد اللانهائية، وقد تمكن العالم إقليدس من إثبات ذلك في عام ثلاثمائة قبل الميلاد.
الأعداد الأولية في طبيعتها لا تتبع صيغة محددة، وعلى الرغم من محاولات العثور على ذلك، إلا أن العلماء لم يتمكنوا من ذلك.
– وفيما يتعلق باستخدام الأعداد الأولية، فإنه يتم الاعتماد عليها في العديد من مجالات تكنولوجيا المعلومات.
تُستخدم الأعداد الأولية في تشفير المفتاح العام.
من الممكن معرفة الأعداد الأولية إذا كانت صغيرة وبسيطة ذهنياً، دون تعقيد.
بينما لا يمكن الكشف عن الأعداد الصعبة والمعقدة فيما إذا كانت أولية أم لا ببساطة أو بالطرق العقلية.
تعتبر طريقة القسمة المتكررة من أبرز الطرق وأكثرها شيوعاً واستخداماً لتحديد ما إذا كان العدد أولياً أم لا.
اكتشاف أكبر عدد أولي
تم اكتشاف أكبر عدد أولي من قبل الدكتور كورتيس كوبر في جامعة ميسوري في أمريكا عن طريق الكمبيوتر. العدد الذي تم اكتشافه يتكون من أكثر من 22 مليون رقم، وهو أكبر من العدد الأولي الذي تم اكتشافه قبله بحوالي خمسة ملايين رقم تقريبا، والعدد الذي تم اكتشافه حتى الآن قد… التاسع والأربعون في سلسلة ميرسيني؛ هذه الأرقام الأولية الكبيرة جدًا مفيدة في عمليات الحوسبة في المستقبل. لأن الأعداد الحالية بالمئات ولم تصل بعد إلى أرقام الملايين.
خصائص الأعداد الأولية
للأعداد الأولية عدة خصائص وهي:
يتم توزيع الأعداد الأولية بشكل غير منتظم، والسبب الرئيسي هو أن العلماء لا يفهمون طريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الأعداد الزوجية. كلما زادت قيمة الرقم الأولي، زادت الفجوة بينه وبين الرقم التالي.
– جميع الأعداد الأولية باستثناء (5,2) تنتهي بأحد الأعداد (9,7,3,1); لأن الأعداد التي تنتهي بـ (8,6,4,2,0) هي من مضاعفات العدد اثنين، فهي ليست أولية، والأعداد التي تنتهي بـ (5,0) هي من مضاعفات العدد خمسة، وهي ليست أولية.
– (إذا كان (A و B) عددين صحيحين، و (C) عدد ثالث، حيث أن (C) عدد أولي، وحاصل ضرب العددين (A × B) يقبل القسمة على C، فإن (A) أو (ب) قابلة للقسمة على العدد (ج)، وهذا ما يسمى بنظرية إقليدس.
الرقم 2 هو أصغر رقم في قائمة الأعداد الأولية، وهو الرقم الزوجي الوحيد فيها.
أهمية الأعداد الأولية
يعتمد أمن البيانات على عدة مفاهيم، بما في ذلك الأعداد الأولية؛ وتعتبر من أهم الأدوات المستخدمة في تشفير البيانات الإلكترونية والمعاملات المصرفية والدخول إلى مواقع التواصل الاجتماعي. مبدأ هذه الأرقام هو تشفير المعلومات في البداية، وتحويل الرسالة إلى رقم كبير ينتج عن ضرب عددين أوليين كبيرين معًا، حيث يسمى هذا الرقم بالفتاحة. أي الرقم السري، ولا يمكن اختراقه إلا إذا تم معرفة العوامل الأساسية المستخدمة في هذه العملية المعقدة، وهذا أمر صعب للغاية.