مقدمة لبحث المصفوفات في الرياضيات، ما هي المصفوفات؟، أنواع المصفوفات، استخدام المصفوفات، العمليات على المصفوفات، خاتمة البحث عن المصفوفات في الرياضيات. وسنتحدث عنها بشيء من التفصيل خلال المقال التالي.
مقدمة إلى المصفوفات في الرياضيات
الماتريكس هو جزء من الرياضيات الذي يعتبر من العلوم المتراكمة لأنه يعتمد على المعلومات السابقة. المصفوفة هي ترتيب الأرقام على شكل صفوف. يتم تجميع المصفوفات في صناديق مربعة أو مستطيلة. ويسمى الصف بالخط الأفقي داخل المصفوفة، ويسمى العمود بالخط العمودي بداخله. ويتم تحديد حجمه حسب عدد الصفوف والأعمدة الموجودة بداخله، وله ارتباط وثيق بالحياة اليومية من خلال ارتباطه ببعض المناطق المهمة.
ما هي المصفوفة؟
– يمكن القول أن المصفوفة ليست سوى مجموعة مستطيلة تحتوي على عدد من الأرقام، وليست أرقاما فقط، بل من الممكن أن تكون مجموعة مستطيلة من رموز رياضية أخرى متنوعة، وداخلها تتحدد العمليات الحسابية التي تتم فيها، كالجمع أو الطرح أو الضرب، والمصفوفة الأكثر شيوعاً. تستخدم بشكل شائع في الرياضيات المصفوفة الخاصة بالرمز x؛ وهي عبارة عن مجموعة مستطيلة من المقاييس.
كل واحدة من هذه المصفوفات هي عضو في x، مما يعني أن العناصر الموجودة داخل المصفوفة إما أرقام حقيقية أو أرقام مركبة. الأرقام أو الرموز أو التعبيرات الموجودة داخل المصفوفة هي المدخلات، أو يمكن تسميتها بالعناصر. تسمى الخطوط الأفقية للمدخلات داخل المصفوفة بالصفوف، وتسمى الخطوط الرأسية للمدخلات أيضًا بالأعمدة، ويحتوي كل منها على عناصر سواء كانت أرقامًا أو رموزًا.
أنواع المصفوفات
هناك العديد من أنواع وأشكال المصفوفات التي تستخدم في التطبيقات العلمية المختلفة، وإليكم بعض تلك الأنواع في السطور التالية مع شرح مختصر لكل منها:
-مصفوفة مستطيلة
مصفوفة تحتوي على عدد من الصفوف والأعمدة المختلفة التي لا تتساوى في العدد أبدًا.
– مصفوفة عمودية
تتكون هذه المصفوفة من عمود واحد فقط، وسبب تسميتها بهذا الاسم هو أن جميع مكوناتها موجودة في عمود واحد.
– مصفوفة مربعة
في المصفوفة المربعة عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة.
– مصفوفة
يتكون هذا النوع من المصفوفات من عنصر واحد فقط، أي إدخال واحد.
– مصفوفة صفر
نوع من المصفوفة حيث يجب أن تكون كافة الإدخالات مساوية للصفر.
– مصفوفة متماثلة
إنها مصفوفة مربعة حقيقية A تكون متماثلة إذا وفقط إذا كانت تساوي دورتها ومع الرموز A = AT.
– مصفوفة غير متجانسة
يمثل هذا النوع من المصفوفات مصفوفة مربعة متماثلة مقابل الجانب المقابل إذا وفقط إذا كانت A = AT.
– مصفوفة قطرية
في حالة أن جميع مدخلات المصفوفة الصفرية الموجودة أعلى وأسفل القطر الرئيسي تساوي صفرًا؛ إنها مصفوفة قطرية.
– مصفوفة الخط
تتكون مصفوفة الخطوط من صف واحد فقط، وسبب تسميتها أنها تتكون من سطر واحد فقط.
استخدام المصفوفات
ولم يقتصر استخدام المصفوفات في الرياضيات ومشتقاتها المختلفة فحسب، بل ساهمت في العديد من المشكلات الأخرى في بقية العلوم التي تختلف تمامًا عن الرياضيات، والدور الذي تلعبه في الرياضيات واستطاعوا النجاح فيه، حيث أنهم يمكن استخدامها في تمثيل مضغوط للأرقام الموجودة في المجموعة من خلال أحد الأنواع كما تدخل مصفوفات مختلفة في التحليل الرقمي وتستخدم في الرسم البياني ومعرفة نوعه والأرقام المرتبة داخل الرسم البياني.
العمليات على المصفوفات
1. مجموعة المصفوفات
في كثير من الأحيان نحتاج إلى إضافة مصفوفة مع مصفوفة أخرى. هناك شروط يجب توافرها لإتمام العملية وهي أن تكون أبعاد المصفوفة الأولى مساوية لأبعاد المصفوفة الثانية.
2. ضرب المصفوفة
لضرب مصفوفتين يجب توافر شرط وهو أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، كما يلي:
حيث: أ: المصفوفة الأولى، ب: المصفوفة الثانية، ج: حاصل ضرب المصفوفتين، ط: عدد الصفوف في المصفوفة الأولى، ي: عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية، ك: عدد الأعمدة الأعمدة في المصفوفة الأولى، وهي تساوي عدد الصفوف في والجودة في المصفوفة الثانية، N: إيجاد عدد الصفوف في المصفوفة الأولى، M: عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية، W: عدد الأعمدة الأعمدة في المصفوفة الأولى، وهي يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
3. تقسيم المصفوفات
أما تقسيم مصفوفتين فهو يمثل محدد المصفوفتين
وهي حاصل ضرب عناصر القطر الصغير ناقص حاصل ضرب عناصر القطر الأكبر، وبالنسبة للمصفوفة A يرمز لها بـ | أ |. يمكن حساب محدد مصفوفة حجمها (2 × 2) على النحو التالي: إذا زاد حجم المصفوفة عن (2 × 2)، فهناك طرق عديدة لإيجاد محدد المصفوفة.[4] وأشهرها طريقة الحذف الغوسية. تعتبر هذه الطريقة من أقدم الطرق وأكثرها شيوعاً في حل المعادلات الخطية التالية. عند الحصول على مصفوفة المثلث العلوي أو مصفوفة المثلث السفلي، يتم العثور على قيمة المحدد بضرب العناصر القطرية. يعتبر المحدد مؤشرا لتوضيح أن مجموعة المعادلات الخطية قابلة للحل عندما تكون هناك قيمة للمحدد. إذا كانت القيمة صفرًا، فهذا يعني أن هذه المصفوفة ليس لها معكوس، مما يعني أنه لا يوجد حل لهذه المعادلات.
4. طرح المصفوفات
وشرط طرح المصفوفات هو نفس شرط الجمع، حيث يشترط أن تكون المصفوفات التي يتم إضافتها أو طرحها لها نفس القوة n × m، حيث: m هو عدد الصفوف، n هو عدد الأعمدة.
5. المصفوفات المنقولة
المصفوفة المنقولة أو ما يسمى بتبديل المصفوفة تسمى أيضًا بالمصفوفة المساعدة، وهي عبارة عن استبدال الخطوط بالأعمدة، ونرمز لها بـ AT.
6. معكوس المصفوفات
أحد الأمور المهمة في جبر المصفوفات هو إيجاد معكوس المصفوفة. ومن خصائص معكوس المصفوفة أن نتيجة ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي مصفوفة الوحدة.
اختتام بحث حول المصفوفات في الرياضيات
بذل العلماء جهودهم لإيجاد المصفوفات كحل للمعادلات الرياضية غير المكتملة، والتي بدورها لم يمكن إنتاجها بشكل صحيح. ولذلك وجدت المصفوفات كخطوة في المعادلة، إذ ساهمت في إفادة جميع العلماء وبالتالي جميع أفراد المجتمع.