خصائص ضرب المصفوفات

خواص ضرب المصفوفات، ترتيب ضرب المصفوفات، شرح ضرب المصفوفات، تعريف المصفوفات وأنواعها، تاريخ المصفوفات، أهمية المصفوفات، عيوب المصفوفات. وسنتحدث عنها بشيء من التفصيل خلال المقال التالي.

خصائص ضرب المصفوفات

هناك بعض خصائص ضرب المصفوفات العادية، منها ما يلي:
1. يمكن إجراء استثناء عندما تكون المصفوفتان قطريتين. إذا فعلنا ذلك، فإن عملية الضرب ستكون تبادلية.
2. تعتبر عملية ضرب المصفوفات عملية جمعية مثل: (AB)C=A(BC)/ أما إذا كانت عملية ضرب المصفوفات عملية توزيعية فستكون: A(B+C)=AB +AC أو A+B)C =AC+BC).

ضرب مصفوفة الترتيب

في الرياضيات، ضرب المصفوفات هو عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين كمدخلات لها وتنتج مصفوفة ثالثة. تنتمي عناصر هاتين المصفوفتين إلى حقل، أو بشكل أعم إلى حلقة أو حتى نصف دائرة.

شرح ضرب المصفوفات

1. حاصل ضرب مصفوفة من الرتبة m×k بمصفوفة k×n (أي أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد أعمدة المصفوفة الثانية) هو مصفوفة من الرتبة m ×n، وكل عنصر من عناصرها هو حاصل ضرب الصف المقابل من المصفوفة الأولى في العمود المقابل من المصفوفة الثانية، ويجب أن نراعي ما يلي قبل أن نبدأ عملية الضرب في المصفوفتين:
من أجل ضرب مصفوفة A في مصفوفة أخرى B، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
– إذا كانت المصفوفة الأولى على الصورة m×n والأخرى على الصورة n×k فإن الناتج يكون مصفوفة على الصورة m×k أي أن النتيجة هي مصفوفة على الصورة ( عدد صفوف الأول × عدد أعمدة الآخر).
قد لا يكون الضرب ممكنًا إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى لا يساوي عدد صفوف المصفوفة الأخرى.

تعريف المصفوفات وأنواعها

المصفوفة تسمى مصفوفة باللغة الإنجليزية. يمكنك تخيل المصفوفة كمتغير واحد يمكنه تخزين عدة قيم. إذن، المصفوفة تشبه متغيرًا واحدًا يحتوي على عدة خلايا، والخلية الموجودة في المصفوفة تسمى عنصرًا. لذلك، المصفوفة عبارة عن متغير واحد يتكون من عدة عناصر. أنواعها هي كما يلي:
1. يمكن أن تكون المصفوفة عبارة عن مصفوفة أحادية البعد أو أحادية البعد، ويسمى هذا النوع بالمتجه في الرياضيات.
2. يمكن أن تكون المصفوفة ثنائية أو ثنائية الأبعاد، ويسمى هذا النوع بالمصفوفة في الرياضيات.
3. يمكن أن تكون المصفوفة مصفوفة متعددة الأبعاد.

تاريخ المصفوفات

لقد تم استخدام المصفوفات منذ زمن طويل في حل المعادلات الخطية. أقدم شكل من أشكال استخدام المصفوفات لحل المعادلات هو نص صيني يسمى الفصول التسعة في فن الرياضيات. كما تضمن مبدأ المحددات الذي يعود تاريخه إلى ما بين 300 قبل الميلاد و200 ميلادية.
في عام 1683، نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو بحثًا عن المصفوفات. وبعد ذلك نشر العالم الألماني جوتفريد لايبنتز بحثاً عن المصفوفات عام 1693. ثم نشر غابرييل كرامر قواعده الحسابية عام 1750.
ركزت نظريات المصفوفات المبكرة على دور المحددات بدلاً من المصفوفات بشكل مستقل، ولم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل حتى وقت قريب، في عام 1858 مع آرثر كايلي ونظرياته حول المصفوفات.
– نظرية المصفوفات هي فرع من فروع الرياضيات يركز على دراسة المصفوفات. وفي الحقيقة يعتبر أحد فروع الجبر الخطي. ثم تطورت لتشمل موضوعات تتعلق بنظرية الرسم البياني، والجبر، والتوافقيات، والإحصاء.
تمثل المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام.
في عام 1848، صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة مرتبة من الأرقام.
في عام 1855، قدم آرثر كيلي المصفوفة على أنها تمثيل للعناصر الخطية، واعتبرت هذه الفترة بداية الجبر الخطي ونظرية المصفوفات.

أهمية المصفوفات

للمصفوفات أهمية كبيرة، حيث يمكن استخدامها في العديد من التطبيقات، مثل التطبيقات الرياضية أو في مجال العلوم بما في ذلك الفيزياء. يمكن الاستفادة من هذه المصفوفات بشكل كبير من خلال ضغط تمثيل كمية من الأرقام في المصفوفة، وذلك من خلال الاعتماد على بعض البدائل، وبدلاً من إجراء حسابات معقدة، فإن بعض النظريات التي تستخدم باستخدام طريقة المصفوفة هي ما يلي:
1. الإحصائيات والاحتمالات

هي نظرية يتم تطبيقها على المصفوفات المربعة والعشوائية، من خلال المتجهات الاحتمالية، ويتم ذلك من خلال طريقة الإدخال غير السالبة.
2. التماثلات والتحولات

وهي من النظريات التي لها أهمية كبيرة وجوهرية في مجال الفيزياء الحديثة، خاصة فيما يتعلق بمجال الجسيمات، ونظرية المخططات، ونظرية التركيبات الخطية، ونظرية التحليل والهندسة، ونظرية البصريات الهندسية، ونظرية من الالكترونيات.

عيوب المصفوفات

بالإضافة إلى المزايا العديدة للمصفوفات، هناك أيضًا عدد من الجوانب السلبية لها:
1. أول هذه الجوانب السلبية المتعلقة بالمصفوفات هو حجمها الثابت، وتظهر هذه المشكلة عند تخزينها، حيث يتم حجز مساحة تساوي أكبر عدد من العناصر الممكنة التي قد تحتويها المصفوفة، بغض النظر عن عدد العناصر الحقيقية موجودة فيه، وبالتالي من الممكن أن تكون هناك مناطق في بطاقة الذاكرة محجوزة ولكنها فارغة.
2. إن إضافة عنصر جديد إلى المصفوفة أمر مكلف سواء من حيث الوقت أو المال.
3. ومن أهم هذه العيوب أنها قد تسبب بعض الإزعاجات للأفراد العاملين في مشروع معين.
4. يدعي البعض أن المصفوفات قديمة الطراز ولا تصلح للمشاريع والأعمال المتطورة التي يشهدها العصر الحالي.
5. يمكن أن تؤدي المصفوفات إلى إضاعة الكثير من الوقت، خاصة في عمليات اتخاذ القرار، لأنها تؤدي إلى زيادة عدد الموظفين في الأقسام المختلفة.
6. يعتقد بعض رجال الأعمال أن مبدأ المصفوفات يقلل من مبدأ السيطرة ويجعل الأمر صعبًا.
7. يعتقد الكثير من الناس أن استخدام المصفوفات يزيد من تكاليف المشاريع المختلفة.